从切苹果到量子临界点：“怎么切”为何如此重要？

纠缠熵通常被当作观察量子临界性的窗口，但这扇窗口看到什么，竟然和“怎么切”密切相关。我们近期发表在Physical Review Letters上的研究发现，不同的纠缠切割方式会在切割边界上诱导出不同的低能结构，因而让纠缠熵混入额外的边界信息。换句话说，纠缠切割有时并不只是数学步骤，它在物理上可以等效为一条边界。

撰文 | 朱彦璋、王哲（西湖大学物理系量子多体计算实验室）

大家可能见过这样一个小实验：把一个苹果拦腰横切，切面会露出一个清晰的五角星；如果换个方向切，这颗“星”就不见了。苹果本身没有变，变的只是切割方式，但我们观察到的结构却完全不同。这个简单的例子揭示了一个常被忽略的事实：当一个系统的内部结构足够复杂时，我们如何切割、如何观察，会直接影响我们能够看到的结构。

图一：横切苹果的“五角星”

纠缠与切割

在量子物理中，纠缠被用来描述复合系统内部各部分之间的量子关联。为了研究这种关联，物理学家通常把系统划分成两个部分，通过对其中一部分的自由度求偏迹（partial trace），从而提炼出另一部分的状态，并用一个量来衡量这两部分之间剩下多少关联，这个量就是纠缠熵（entanglement entropy）。在大量模型中，人们发现，当体系接近量子相变点时，纠缠熵的变化方式往往具有普适性，能够反映体系的临界行为，因此纠缠逐渐被当作一种探测体相性质的重要工具，尤其是在一些非常规的量子相变中[1]。在这一过程中，一个几乎被默认接受的前提是：只要体系足够大，纠缠熵就能很好地反映体相性质，而不依赖于具体的二分切割方式。

近年来，对二维量子磁体的研究发现了一个耐人寻味的现象：在同一个量子临界点上，仅仅改变纠缠切割的方向，就可能得到不同的纠缠标度行为。有些切割方式看起来与理论预期高度一致，而有些则明显偏离[2]。这就像是在研究同一个苹果，却因为切法不同，有时看到五角星，有时却什么也看不到。这些差异究竟意味着什么？是有的切割方式未能反映量子系统的性质，还是有的切割方式本身引入了额外的信息？

要回答这个问题，关键在于认识到一件事：纠缠切割虽然不会改变体系的哈密顿量，但它确实引入了一条清晰的分界线，这条线在物理效果上扮演了类似“边界”的角色。事实上，先前已有研究发现，相比于光滑的（cornerless）纠缠切割，有边角的纠缠切割方式会在纠缠熵中引入额外的对数修正项[3]。这也启发了我们对于切割方式的关注。

在研究临界现象时人们早已知道，在具有开放边界条件的系统中，真实物理边界并不总是平凡的。不同的边界条件，可能对应完全不同的边界行为，有的边界无序，有的却能够形成自己的低能结构[4, 5]。同时，研究物理系统边缘行为的科学家们曾经提出过Li-Haldane-Poilblanc猜想：对于有些量子系统，真实开边体系的边缘激发谱（edge excitation spectrum）与纠缠谱（entanglement spectrum）的低能部分有相似的物理性质[6, 7]，这暗示了我们真开边与纠缠切割在有些系统中有对应关系。如果纠缠切割在物理上可以被看作一种等效边界，那么一个自然的问题就是：不同的纠缠切割方式，是否会对应不同的“边界行为”，从而影响纠缠熵中所包含的信息？为了检验这一点，我们研究了二维J-Q₃自旋模型在不同切割方式下的边缘临界行为[8]。

两种切割，两种边界物理

方向的标准切割（正切），以及与晶格成45°的倾斜切割（斜切）。数值结果显示，这两种切割方式在纠缠边界上诱导出了本质不同的低能行为。在标准切割下，切割线附近的关联随距离衰减，表现得像一个普通（ordinary）、无序的边界，纠缠主要由体相的临界涨落控制；而在倾斜切割下，即使体系整体仍处在量子临界点，切割线附近却保持着有限的有序结构，表现出非凡（extraordinary）边界的特征。这说明，纠缠切割并不是一个中性的选择，它本身会影响纠缠边界的物理行为。

纠缠熵只是一个数，相比之下，纠缠谱包含了更丰富的信息，我们还可以进一步对其进行计算和分析。纠缠谱描述的是，当我们只观察体系的一部分时，这一部分内部允许出现的激发模式。正如前文所言，在许多量子体系中，人们发现纠缠谱与真实物理边界上的激发谱非常相似，这意味着纠缠对边界附近发生的事情高度敏感。在我们的研究中，不同切割方式下的纠缠谱，与相应几何条件下的边缘激发谱行为高度一致，因此如果某种切割方式会在真实边界上引入额外的低能结构，那么类似的结构也会出现在纠缠边界上。它们会不可避免地进入纠缠谱，并进一步影响纠缠熵的行为。

图三：(a,b)开放边界条件(OBC)下的边缘激发谱，(c,d)纠缠谱。(a,c)对应正切，(b,d)对应斜切。可以看到在相同切割方式下的边缘激发谱与纠缠谱极其相似，验证了Li-Haldane-Poilblanc猜想，并且不同的切割方式体现出了截然不同的激发行为，进一步说明了这会影响纠缠熵的行为。

我们的结果表明，纠缠熵并不总是一个只反映体相性质的量。只有当纠缠切割对应的边界是普通的、没有自身低能结构时，纠缠才能作为体相临界性的可靠探针。正如苹果里的五角星所提醒的那样，在研究复杂系统时，观察方式本身也可能塑造我们看到的结构。在使用纠缠行为研究量子多体系统时，也许我们不仅要问体系处在什么相，还需要多问一句：我们是如何把它切开的？

感谢合作者们（朱彦璋、刘泽楠、王哲、王艳成、严正）在研究中的贡献。

参考文献

[1] G. Vidal, J. I. Latorre, E. Rico, and A. Kitaev, Phys. Rev. Lett. 90, 227902 (2003).

[2] J. D’Emidio and A. W. Sandvik, Phys. Rev. Lett. 133, 166702 (2024).

[3] E. Fradkin and J. E. Moore, Phys. Rev. Lett. 97, 050404 (2006).

[4] L. Zhang, and F. Wang, Phys. Rev. Lett. 118, 087201 (2017).

[5] C. Ding, L. Zhang, and W. Guo, Phys. Rev. Lett. 120, 235701 (2018).

[6] H. Li and F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 101, 010504 (2008).

[7] D. Poilblanc, Phys. Rev. Lett. 105, 077202 (2010).

[8] Y. Zhu, Z. Liu, Z. Wang, Y.-C. Wang, and Z. Yan, Phys. Rev. Lett. 136, 046501 (2026).

[9] A. W. Sandvik, Phys. Rev. Lett. 98, 227202 (2007).

注：本文封面图片来自版权图库，转载使用可能引发版权纠纷。